1. Discrete time signal & Continuous time signal(이산시간신호와 연속시간신호)
신호는 한개 이상의 독립적인 변수들의 함수로 표현된다. 시간 연속성에 따라 Discrete time signal 과 Continuous time signal 로 구분된다. 주로 Discrete time signal은 x(t)와 같이 소괄호를 이용해 표기되고, Continous time signal 은 x[n]과 같이 대괄호를 이용해 표기된다.
신호의 에너지는 신호의 크기를 제곱한 것과 같다. 즉, 신호크기의 제곱을 어떠한 시간구간에 대해 더한 값은 신호가 그 구간에서 가지는 총 에너지가 되며, 이를 시간구간으로 나누어 평균에너지를 구할 수 있다. 해당 구간을 무한대로 잡게되면 신호가 갖는 에너지 총량을 알 수 있다.
연속시간신호의 구간 \([t_1, t_2]\)에서의 에너지는 다음과 같다.
$$ \int_{t_1}^{t_2}\left|x(t)\right|^{2}dt $$
연속시간신호의 구간 \([t_1, t_2]\)에서의 평균 파워는 다음과 같다.
$$ \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}\left|x(t)\right|^{2}dt $$
무한한 구간에 대한 연속시간신호의 평균 파워는 다음과 같다.
$$ P_\infty =\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left|x(t)\right|^{2}dt $$
마찬가지로 이산시간신호의 경우 이산시간이기 때문에 적분기호가 아닌 시그마를 통해 그 합을 계산한다.
이산시간신호의 구간 \([n_1, n_2]\)에서의 에너지는 다음과 같다.
$$ \sum_{n=n_1}^{n_2}\left|x[n]\right|^{2} $$
무한한 구간에 대한 이산시간신호의 평균 파워는 다음과 같다.
$$ P_\infty =\displaystyle \lim_{N \to \infty }\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{+N}\left|x[n]\right|^{2} $$
위처럼 신호의 총 에너지를 표현했을 때, 총 에너지가 무한으로 발산하거나 어떤 값으로 수렴하게 된다.
신호가 유한한 총 에너지 \(E\)를 갖는 경우, 모든 시간범위에 대한 평균 파워가 0이 된다. (앞으로 평균 파워를 언급할 때, 범위에 대한 언급이 없다면 이는 모든 시간범위를 의미한다.)
$$ P_\infty =\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{E}{2T}=0 $$
신호가 무한한 총 에너지를 갖는 경우, 평균파워가 유한하거나 무한하다.
유한한 총 평균파워를 갖는 경우 예를 들어, 모든 시간에서 양의 신호 크기 1만큼을 갖는 신호를 제곱하여 적분한 결과는 당연히 무한하게 발산하고 이 신호는 1이라는 유한한 평균 파워를 갖는다.
$$ P_\infty =\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left|x(t)\right|^{2}dt =\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left|1\right|^{2}dt = 1 $$
무한한 총 평균파워를 갖는 경우 예를 들어, 모든 시간에서 시간과 같은 크기 t만큼을 갖는 신호를 제곱하여 적분한 결과는 당연히 무한하게 발산하고, 이 신호는 무한한 평균 파워를 갖는다.
$$ P_\infty =\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left|x(t)\right|^{2}dt =\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\left|t\right|^{2}dt = \displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{1}{3}T^{2}=\infty $$
2. Transpormations of independent variable(독립변수의 변환)
독립변수 변환은 아주 간단하다. 우리가 고등학교때 함수를 표현하면서 배운 변수변환에 따른 함수 그래프의 형태 변환을 떠올리면 된다. time shift, time reversal, time scaling 3가지가 있다.
① time shift 는 쉽게말해 평행 이동이다. 이산시간신호의 경우 \(x[n-n_0]\), 연속시간신호의 경우 \(x(t-t_0)\) 처럼 나타낼 수 있다. shift 되는 \(n_0\) 또는 \(t_0\) 의 부호가 음수면 왼쪽으로 shift되고 양수면 오른쪽으로 shift 된다.
신호가 주기 \(T\)(또는 \(N\)) 을 갖는 주기신호라면, \(T\)(또는 \(N\))만큼 time shift 해도 값이 변하지 않는 특성이 있다. 또한 주기함수는 어떤 양의 정수 \(k\)에 대해, 최소주기가 \(T_0\)(또는 \(N_0\))일 때 \(kT_0\)(또는 \(kN_0\))의 주기를 갖는다고 할 수 있다. 주기라는 것은 같은 형태로 나타나는 시간간격을 의미하는 것인데, 최소주기가 \(T_0\) 라면 \(T_0\)만큼 time shift를 한 결과와 \(2T_0\)만큼 time shift를 한 결과는 완전히 일치하기 때문에 최소주기의 양의 정수배는 모두 이 신호의 주기라고 할 수 있다.
② time reversal 는 쉽게말해 신호 값(y축)대칭이다. 이산시간신호의 경우 \(x[-n]\), 연속시간신호의 경우 \(x(-t)\) 처럼 나타낼 수 있다.
③ time scaling 는 쉽게말해 개형의 확장 또는 축소이다.
이러한 transpormation 들을 종합하면 아래와 같이 응용할 수 있다.
3. Even function signal & Odd function signal(우함수 신호와 기함수 신호)
even function signal의 경우 원점을 기준으로 좌우 대칭이기 때문에 time reversal 하여도 동일한 신호값을 갖는 특성이 있다. odd function signal의 경우 원점을 기준으로 점대칭이기 때문에 반드시 \(t=0\)(또는 \(n=0\))에서 0의 값을 갖는다. 그리고 우리는 어떤 신호를 이러한 even part과 odd part로 분리할 수 있고, even part는 even function signal의 형태를, odd part는 odd function signal의 형태를 가진다. 다시말해 even part과 odd part의 합으로 어떠한 신호를 표현할 수 있다. 이는 신호의 특성을 분석하는데 있어서 굉장히 유용한 사실이다.
신호 \(x(t)\)에 대해 even part는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ Even\left\{ x(t)\right\}=\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ] $$
신호 \(x(t)\)에 대해 odd part는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$ Odd\left\{ x(t)\right\}=\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ] $$
수식적으로도 이들의 합으로 신호를 나타낼 수 있음을 알 수 있다.
$$ Even\left\{ x(t)\right\}+Odd\left\{ x(t)\right\} =\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ]+\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ]=x(t) $$
4. Exponential and sinusoidal signals(지수신호와 정현파신호)
4.1. 연속시간 복소지수신호
연속시간 복소지수신호는 아래와 같은 형태로 표현할 수 있다.
$$ x(t)=Ce^{at} $$
복소지수신호인 이유는 \(C\)와 \(a\)가 일반적으로 복소수 형태이기 때문이다.
만약 \(C\)와 \(a\)가 실수라면, 신호는 \(a>0\)일 때 우상향하는 지수형태를, \(a<0\)일 때 우하향하는 지수형태를 갖는다. \(a=0\)이라면 지수항이 없어지고 신호는 상수신호(\(C\))로 표현된다.
만약 \(a\)아 허수라면, 신호는 주기성을 갖게된다(이는 매우 중요한 특성이다). 이해를 위해 \(x(t)=e^{jw_0t}\) 를 예로들어 주기성을 증명해보겠다.
\(x(t)\)가 주기신호 이려면, \(x(t)=x(t+T)\)를 만족해야한다. 즉,
$$ e^{jw_0t} = e^{jw_0(t+T)} = e^{jw_0t}e^{jw_0T} $$
가 성립한다면 이 신호는 주기신호이다. 따라서
$$ e^{jw_0T} = 1 $$
이면 \(x(t)\)는 주기신호이다. 이를 만족하는 경우로 \(w_0=0\)이면 주기 T와 관계없이 항상 주기신호(지수항이 사라진 상수신호기 때문)이고, \(w_0 \neq 0\)이면 \(e^{jw_0T} = 1\) 을 만족하는 기본주기 \(T_0=\frac{2\pi}{\left|w_0 \right|}\) 를 가진다면 주기신호이다. 주기성에 대해 한눈에 이해하기 어렵다면 오일러 공식에 따라 정현파 신호로 분리될 수 있기 때문에 \(T_0=\frac{2\pi}{\left|w_0 \right|}\) 의 기본주기를 갖는다는 것을 쉽게 알 수 있다.
*오일러 공식(Euler's formula) [Figure 2.6] Euler's fomula |
$$ e^{jwt}=cos(wt)+jsin(wt) $$ $$ e^{-jwt}=cos(wt)-jsin(wt) $$ $$ cos(wt)=\frac{1}{2}(e^{jwt}+e^{-jwt}) $$ $$ sin(wt)=\frac{1}{2}(e^{jwt}-e^{-jwt}) $$ |
반대로 정현파 신호를 복소지수 신호처럼 표현할 수도 있다. 어떤 임의의 정현파 신호 \(x(t)=Acos(w_0t+\phi )\)는 다음과 같이 표현된다.
$$ x(t)=Acos(w_0t+\phi )=\frac{A}{2}e^{j\phi }e^{jw_0t}+\frac{A}{2}e^{-j\phi }e^{-jw_0t} $$
이제 \(Ce^at\) 에서 \(C\)와 \(a\) 모두 복소수인 가장 일반적인 복소지수신호를 생각해 보자. 형태를 한눈에 살펴보기 쉽게 하기 위해서 \(C\)는 크기와 각도를 이용한 극좌표 형식으로 표현된다.
$$ \left|C \right|e^j\theta $$
이와 달리 \(a\)는 지수항이므로 직교좌표 형식으로 표현된다.
$$ a=r+jw_0 $$
따라서 일반적인 복소지수신호 \(Ce^at\) 는
$$ Ce^{at}=\left|C\right|e^{j\theta }e^{(r+jw_0)t}=\left|C\right|e^{rt}e^{j(w_0t+\theta )} $$
로 표현할 수 있고 오일러 관계식을 통해 다음과 같이 바꾸어 나타낼 수 있다.
$$ Ce^{at}=\left|C\right|e^{rt}e^{j(w_0t+\theta )}=\left|C\right|e^{rt}cos(w_0t+\theta )+j\left|C\right|e^{rt}sin(w_0t+\theta ) $$
이제 위 표현을 바탕으로 이 신호를 분석해보자.
만약 \(r=0\)이라면 이 신호는 일반적인 정현파에 크기가 \(\left|C\right|\) 배인 신호이다. \(r>0\)이면 지수적으로 점점 커지는 정현파 신호가 되고, \(r<0\)이면 지수적으로 점점 작아지는 정현파 신호가 된다. [Figure 2.7]처럼 \(\left|C\right|e^{rt}\)인 점선에 알맞게 진동하는 정현파가 되는 것이다.
4.2. 이산시간 복소지수신호
이산시간 복소지수신호는 아래와 같은 형태로 표현할 수 있다.
$$ x[n]=C\alpha^{n} $$
만약 \(C\)와 \(\alpha\)가 실수라면, 신호는 \(\left|\alpha \right|>1\)일 때 우상향하는 지수형태를, \(\left|\alpha \right|<1\)일 때 우하향하는 지수형태를 갖는다. \(\left|\alpha \right|=1\)이라면 지수항이 없어지고 신호는 상수신호(\(C\))로 표현된다. 또한 \(\left|\alpha \right| >0\)이면 신호 \(C\alpha^{n}\)의 값은 모두 같은 부호지만 \(\left|\alpha \right|<0\)이면 신호 \(C\alpha^{n}\)의 값은 양수와 음수로 진동하게 된다.
연속시간에서와 마찬가지로, 임의의 정현파 신호 \(x[n]=Acos(w_0n+\phi )\)는 다음과 같이 표현된다.
$$ x[n]=Acos(w_0n+\phi )=\frac{A}{2}e^{j\phi }e^{jw_0n}+\frac{A}{2}e^{-j\phi }e^{-jw_0n} $$
이제 \(C\alpha^{n}\) 에서 \(C\)와 \(\alpha\) 모두 복소수인 가장 일반적인 복소지수신호를 생각해 보자. 형태를 한눈에 살펴보기 쉽게 하기 위해서 \(C\)는 크기와 각도를 이용한 극좌표 형식으로 표현된다.
$$ \left|C \right|e^j\theta $$
연속시간과는 달리 \(\alpha\)가 지수항이 아니므로 마찬가지로 극좌표 형식으로 표현하는 것이 이해하기 좋다.
$$ \alpha =\left|\alpha \right|e^{jw_0} $$
따라서 일반적인 복소지수신호 \(C\alpha^{n}\) 는
$$ C\alpha^{n}=\left|C\right|\left|\alpha\right|^{n}cos(w_0n+\theta )+j\left|C\right|\left|\alpha\right|^{n}sin(w_0n+\theta ) $$
이다.
4.3. 이산시간신호의 연속시간신호와의 차이점
연속시간신호와 이산시간신호의 복소지수신호는 주기특성이 명백한 차이가 존재한다. 여기서는 연속시간신호의
① 연속시간신호에서 \(w_0\)의 크기가 커질수록 신호의 진동 비율은 높아지고
② \(e^{jw_0t}\)는 어떠한 \(w_0\)값에 대해서도 주기적이다.
라는 특성들과 다르게 이산시간신호에서 나타나는 차이점을 설명할 것이다.
첫번째 차이점을 보이기위해 \(w_0+2\pi)의 주파수를 갖는 다음 이산시간 복소지수신호를 살펴보자.
$$ e^{j(w_0+2\pi)n}=e^{j2\pi n}e^{jw_0n}=e^{jw_0n} $$
이처럼 주파수가 \(w_0 \pm k(2\pi)\) 인 신호는 주파수가 \(w_0\)인 신호와 완벽히 동일하다. 즉 이산시간 복소지수신호의 경우는 주파수 영역에 대해 \([0, 2\pi]\) 인 구간의 신호만 고려하면된다. 주파수 영역에 대해서 길이가 \(2\pi\)인 구간이면 항상 같은 신호가 되지만, 편의를 위해 보통 \([0, 2\pi)\) 혹은 \([-\pi, \pi)\)인 구간을 사용한다.
즉 다시말하면 \(w_0\)의 크기가 아무리 증가하더라도, 연속시간 복소지수신호처럼 진동이 계속해서 증가하지는 않는다는 것이다. (연속시간신호의 경우 \(e^{jw_0t}\)에서 \(w_0\)가 어떤 값인가에 따라 모두 다른 신호라는 말이기도 하다.)
| **보충설명 이산시간신호의 경우, n이 정수이다. 그렇기 때문에 식 $$ e^{j(w_0+2\pi) n}=e^{j2\pi n}e^{jw_0n} $$ 에서 \(e^{j2\pi n}\)의 지수가 \(2\pi\)의 정수배기 때문에 n의 값과 관계없이 항상 1이다. 그래서 이산시간 복소지수신호는 \([0, 2\pi]\) 구간만 살펴보면 된다. 하지만 연속시간 복소지수신호의 경우 t가 연속한 실수이다. 그렇기 때문에 식 $$ e^{j(w_0+2\pi) t}=e^{j2\pi t}e^{jw_0t} $$ 에서 \(e^{j2\pi t}\)의 지수 \(2\pi t\)는 \(2\pi\)의 정수배가 아니기 때문에 \(w_0\)에 따라서 항상 다른 신호값을 갖는다. |
이산시간 복소지수신호의 \(w_0\)값에 따라 어떻게 변화하는지 [Figure 2.9]를 살펴보자.
\(w_0\)가 \(\pi\)까지 증가할때는 진동이 급격하게 증가하지만, \(2\pi\)까지는 다시 진동이 감소하게 된다. 즉 \(w_0\)가 \(\pi\)의 짝수배일 때 최소 진동([Figure 2.9]의 (a) 0 또는 (b) \(2\pi \) : \(e^{j2k\pi n}=1\))을 하고, \(w_0\)가 \(\pi\)의 홀수배일 때 최대 진동([Figure 2.9]의 (e) \(\pi \) : \(e^{j(2k+1)\pi n}=(-1)^n\))을 한다.
이 의미를 수학적으로 표현해보자면, 공통주기 \(N\)을 갖는 신호 집합들은 정수 \(k\)에 대해
$$ \phi_{k}[n]=e^{jkwn}=e^{jk(\frac{2\pi}{N})n} $$
로 표현할 수 있다. 즉 공통주기 \(N\)을 갖는 구별되는 신호는 \(N\)개 라는 것이다. 예를 들어,
$$ \phi_{0}[n]=1,\phi_{1}[n]=e^{j(\frac{2\pi}{N})n},\phi_{2}[n]=e^{j2(\frac{2\pi}{N})n}, \cdots \phi_{N-1}[n]=e^{j(N-1)(\frac{2\pi}{N})n} $$
그리고 이이후 \(k=N\)부터 \(k=2N-1\)까지 \(N\)만큼의 구간에 대해 모든 경우는 위의 예와 일치하게 된다.
두 번째 특성은 이산시간 복소지수신호의 주기성과 관련된 것이다. 신호 \(e^{jw_0n}\)의 주기가 \(N>0\)이기 위해서는
$$ e^{jw_0(n+N)}=e^{jw_0n} $$
이어야하고, 따라서
$$ e^{jw_0N}=1 $$
이어야 한다. 즉, \(w_0N\)은 \(2\pi\)의 배수여야 하고 따라서
$$ w_0N=2\pi m $$
또는
$$ \frac{w}{2\pi}=\frac{m}{N} $$
이어야 한다. 이 조건을 풀어서 해석하자면, 어떠한 정수 m이 존재한다면 신호 \(e^{jw_0n}\)의 주기가 \(N\)을 가질 수 있다는 것이고, 그렇지 않다면 신호 \(e^{jw_0n}\)의 주기적이지 않은 신호라는 의미이다. 따라서 좌변 \(\frac{w}{2\pi}\)가 유리수이면 주기를 갖는(=어떠한 정수 m이 존재하는) 신호이고, 좌변 \frac{w}{2\pi}가 무리수이면 주기적이지 않은 신호이다. 따라서 기본주기 및 기본 주파수의 관계는 위의 식을 이용하여
$$ N=m(\frac{2\pi}{w_0}) $$
로 나타낼 수 있다. 즉 주기적인 신호가 되려면 \(m\)과 \(N\)은 모두 어떠한 정수가 되야한다는 것(그래야 유리수가 될테니까)이고, 위 식에서 알 수 있듯이 기본주기 \(N\)은 어떠한 정수 \(m\)을 곱했을때 나타낼 수 잇는 최소 정수인 것이다. 쉽게 말하면 \((\frac{2\pi}{w_0})\)이 기약분수 형태일때 정수로 떨어지지 않는다면, 이를 정수가 되도록 하기위해서는 분모를 곱하면 되는데, 바로 이 수가 가장 작은 정수 \(m\)이라는 것이고 이를 다시 표현하면 기본주기는
$$ N_0=\frac{N}{gcd(m,N)} $$
이다.
| **보충설명 엄밀하게 증명해보면, 어떤 이산시간 지수신호의 주기가 \(N\)일 때, 기본주기 \(N_0\)는 $$ m(\frac{2\pi}{N})N_0=2\pi k$$ 를 만족하는 정수 $$ N_0=\frac{kN}{m}=\frac{N}{\frac{m}{k}} $$ 를 찾아야 한다. \(N_0\)가 정수이기 위해서는 \(N\)은 \(\frac{m}{k}\)의 배수이고, \(N\)이 정수이므로 \(\frac{m}{k}\)역시 정수여야 한다. 이것은 \(m\)과 \(N\)의 공통 약수가 \(\frac{m}{k}\)임을 의미하고, 가장 최소가 되는 \(N_0\)를 찾으므로 \(\frac{m}{k}\)는 \(m\)과 \(N\)의 최대공약수여야한다. |
연속시간신호와는 다르게 \(m\)이라는 요소가 있는 이유가 잘 와닿지 않는다면 그래프를 보고도 쉽게 의미를 파악할 수 있다. 세가지 예시를 살펴보자.
[Figure 2.10] (a) \(x[n]=cos(\frac{2\pi}{12}n)\) 은 \(x[t]=cos(\frac{2\pi}{12}t)\) 를 정수점에서 샘플링하여 얻어낸 것과 같다. 두 신호의 주기는 각각 \(\frac{2\pi}{w_0}=12\) 로 같다.
하지만 [Figure 2.10] (b) \(x[n]=cos(\frac{8\pi}{31}n)\) 은 어떨까? 연속시간신호 \(x(t)=cos(\frac{8\pi}{31}t)\)의 경우 \(\frac{31}{4}\) 의 주기를 갖는 반면, 이산시간신호 \(x[n]=cos(\frac{8\pi}{31}n)\)는 31을 주기로 갖는다. 이산시간신호는 정수값에서만 신호값을 가지기 때문에, 연속시간신호의 주기를 추적해볼때, \(1\cdot \frac{31}{4}\) , \(2\cdot \frac{31}{4}\) , \(3\cdot \frac{31}{4}\) 은 모두 정수가 아니므로 신호값을 가지지 않고 \(4\cdot \frac{31}{4}\) 에서 처음으로 신호값을 가지기 때문에 이산시간신호의 기본주기는 \(31\)이 되는 것이다.
마지막으로 [Figure 2.10] (c) \(x[n]=cos(\frac{1}{6}n)\) 은 \(x(t)=cos(\frac{1}{6}t)\) 를 정수값에서 샘플링한 것과 같다. 이 경우는 연속시간신호 주기가 \(12\pi \)이다. 즉, 위에서 살펴본 두 번째 경우와 달리 정수값에서 샘플링된 이산시간신호의 값들은 절대 주기를 가질 수 없는 것이다. 어떠한 정수값 지점에서 시작하여도 \(12\pi \)구간씩 잘라 살펴볼때 정수값이 경계에 겹칠 수 없다는 것이다.
5. Unit impulse signal & Step signal(단위임펄스신호와 계단신호)
단위임펄스함수와 계단함수는 가장 간단한 신호의 대표적인 예시이다. 이산시간신호와 연속시간신호의 경우 이들이 어떻게 쓰이는지 알아보자.
5.1 이산시간 단위 임펄스 신호와 계단신호
이산시간에서 단위 임펄스 신호는 다음과 같이 정의된다.
$$ \delta [n]=\left\{\begin{matrix}
0,\quad n\neq 0\\1,\quad n=0
\end{matrix}\right. $$
이 단위 임펄스 신호의 정의에 따라 \(\delta[k]\)와 \(\delta[n-k]\)를 혼동하지 말자. 전자는 \(k\)의 값에 따라 1또는 0이라는 값을 나타내는 것이고, 후자는 \(k\)값에 따라 단위 임펄스 함수가 time shift된 신호를 나타낸다.
이산시간에서 계단신호는 다음과 같이 정의된다.
$$ u[n]=\left\{\begin{matrix}
0,\quad n< 0\\1,\quad n\geq 0
\end{matrix}\right. $$
기본이 되는 이 두 신호는 서로간의 다양한 표현으로 나타낼 수 있다.
$$ (1)\quad \delta [n]=u[n]-u[n-1] $$
$$ (2)\quad u[n]=\sum_{m=-\infty}^{n}\delta [m] $$
$$ (3)\quad u[n]=\sum_{0}^{k=\infty}\delta [n-k] $$
식 (2)가 한번에 와닿지 않는다면 [Figure 2.11]을 보자. \(m\)이 \(0\)일때만 단위 임펄스 신호는 1의 값을 가진다. 즉, \(n\)이 \(0\)보다 작다면, 우변의 단위 임펄스 신호의 합도 \(0\)이고, \(n\)이 \(0\)보다 크거나 같다면, 단위 임펄스 신호 \delta [0] 를 무조건 한번 포함하게 되기 때문에 우변의 단위 임펄스 신호의 합은 \(1\)이된다. 이는 좌변 계단신호의 정의와 일치한다.
또한 이러한 단위 임펄스 함수는 우리가 원하는 시간에서의 신호값을 샘플링하기위해 사용된다. 이는 굉장이 중요한 성질이다. 예를들어 신호 \(x[n]\)의 \(n=n_0\)일때 값을 샘플링 한다면
$$ x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0] $$
로 나타낼 수 있다.
많은 사람들이 \(x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\) 라고 혼동하곤 한다. 이는 명백히 잘못된 표현으로 좌변은 모든 정수값에 대해 신호값을 가지는 신호 이지만, 우변은 특정 정수값에서 갖는 신호값을 의미한다. 이 둘사이에 등호관계를 나타낼 수 없다는 것이다. 헷갈려서는 안되는 중요한 부분은 단위 임펄스 신호를 통한 샘플링은 우리가 원하는 시각의 신호값을 제외한 나머지 시간대의 신호값이 \(0\) 인 신호를 샘플링한다는 것이다. 단위 임펄스 신호의 정의를 잘 기억하자. \(n=0\)을 제외한 나머지 정수값에서 값이 없는게 아니라 \(0\)이라는 값을 갖는 것이다.
5.2 연속시간 단위 임펄스 신호와 계단신호
연속시간에서 단위 임펄스 신호는 정의가 조금 난해할 수 있다. 쉬운 접근을 위해 계단신호의 정의부터 설명하겠다.
연속시간에서 계단신호는 이산시간에서 처럼 표현된다.
$$ u(t)=\int_{-\infty }^{t}\delta (\tau )d\tau $$
이 계단신호의 정의로부터, 양변을 미분하여 표현되는 계단신호의 일차 도함수가 단위 임펄스 신호이다.
$$ \delta (t)=\frac{du(t)}{dt} $$
사실 엄밀한 정의는 디렉델타함수를 찾아보는 것을 추천한다. 핵심적인 의미만 말하자면 디렉델타함수(단위 임펄스 신호)는 면적이 1인 펄스를 갖는 함수이다. 계단신호의 정의에 의하면 사실 원칙적으로는 미분이 불가능한 함수이다. \(t=0\)에서 좌극한은 \(0\), 우극한은 \(1\)로 연속이 아니기 때문에 미분이 불가능하다는 것을 쉽게 알 것이다. 하지만 우리가 앞으로 볼 표현방식대로 다시 설명해보겠다.
신호값이 \(0\)에서 \(1\)까지 연속적으로 변하는 계단신호 \(u_{\Delta }(t)\)를 생각해보자. 우리가 앞으로 사용하고자 하는 계단신호는 바로 이 미분 가능한 계단신호 \(u_{\Delta }(t)\)의 \(\Delta\)를 극한으로 작게 보낸 것이다. 따라서 단위 임펄스 신호의 정의도 미분
$$ \delta_{\Delta} (t)=\frac{du_{\Delta}(t)}{dt} $$
처럼 표현 가능하고,
$$ \delta (t)=\displaystyle \lim_{\Delta \to 0}\delta_{\Delta}(t) $$
처럼 정의할 수 있다. 이처럼 면적이 1인 것으로 나타내기 위해 화살표를 이용하여 나타내는 것이 일반적이다.
결과적으로 다시 정리하면 다음과 같다.
$$ (1)\quad \delta (t)=\frac{du(t)}{dt} $$
$$ (2)\quad u(t)=\int_{-\infty }^{t}\delta (\tau )d\tau $$
$$ (3)\quad u(t)=\int_{0}^{\infty}\delta (t-\tau )d\tau $$
또한 이산시간신호에서처럼 연속시간신호에서도 다음과 같이 특정 신호값을 샘플링 할 수 있다.
$$ x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0) $$
6. System & System characteristics(시스템과 특성)
어떠한 입력신호부터 출력신호까지 구성되는 상호연결 모두를 시스템이라고 칭한다. 입력신호와 출력신호가 이산시간신호이면 이산시간 시스템, 입력신호와 출력신호가 연속시간신호이면 연속시간 시스템이다.
이러한 시스템은 여러 방식으로 상호연결되어 구성되는데, 상호연결이라고 하여 어려울 것이 하나도 없다. 우리가 익히 알고있는 회로의 구조와 비슷하다. 직렬연결, 병렬연결, 피드백 등의 구조로 나타난다.
6.1 기본적인 시스템 특성
a. memory
어떤 시스템의 주어진 시간에서 독립변수 각각의 값에 대한 출력이 같은 시간의 입력에만 의존하는 시스템이다. 메모리가 없는 시스템은 항등(identity)시스템 이라고도 말한다. 예시로는 \(y(t)=x(t)\) 혹은 \(y[n]=x[n]\) 같은 시스템을 들 수 있다. 반면에 출력이 같은 시간의 입력 뿐만 아니라 이전의 입력도 영향을 받는 경우 메모리가 있는 시스템이다. 이전까지의 입력 신호를 축적하는 누산기(합산기) 시스템 \(y[n]=\sum_{k=-\infty }^{n}x[k]\) 또는 지연기 시스템 \(y[n]=x[n-1]\) 을 들 수 있다.
b. invertibility
입력과 출력사이에 1대1의 관계성을 가진다면, 즉 별개의 입력에 대해 별개의 출력이 나온다면 그 시스템은 가역적이라고 말한다. 예시를 보면 쉽게 알 수 있다. \(y(t)=2x(t)\) 의 역시스템은 \(w(t)=\frac{1}{2}y(t)\) 이고, 누산기 \(y[n]=\sum_{k=-\infty }^{n}x[k]\) 의 역시스템은 \(w[n]=y[n]=y[n-1]\)이다. 반대로 \(y[n]=0\) 처럼 입력과 무관하게 출력이 결정되는 시스템은 출력 \(y[n]\) 으로부터 입력 \(x[n]\)을 알아낼 수 없고, \(y(t)=x^{2}(t)\) 의 경우 출력 \(y(t)\) 로부터 입력 \(x(t)\)의 부호를 결정할 수 없다. 이런 시스템들은 비가역적이라고 할 수 있다.
c. causality
어떤 시간에서의 출력이 현재와 과거의 입력값에 의존한다면 그 시스템은 인과적이라고 한다. 즉 출력이 미래의 입력값과 관계가 없는 것이다. 이로인해 예측불가능한 시스템이라고 말하기도 한다. 당연히 a절에서 언급된 메모리가 없는 시스템은 인과적인 시스템이라 할 수 있다. 인과적이지 않은 시스템의 예시로 \(y(t)=x(t)-x(t+1)\) 같은 시스템을 들 수 있다.
d. stability
안정성은 시스템의 중요한 특성중 하나이다. 안정한 시스템은 입력에 대해 출력이 무한으로 발산하지 않는 시스템이다. 어떤 시스템에 입력이 가해졌을때, 그 출력이 발산하지 않는다면 안정성을 가진 시스템이라고 할 수 있다. 예를들어 누산기에 대한 입력이 unit step signal이라면 그때 출력 y[n]은
$$ y[n]=\sum_{k=-\infty }^{n}u[k]=(n+1)u[n] $$
가 되고, \(n\)이 증가함에 따라 출력 \(y[n]\)도 한없이 증가하는 불안정한 시스템임을 알 수 있다.
e. time invariance
시불변시스템은 말그대로 시스템의 특성이 시간에 대해 고정되어있는 것을 의미한다. 쉽게말해 입력 \(x[n]\)의 출력이 \(y[n]\)일 때, 입력 \(x[n-n_0]\)의 출력이 \(y[n-n_0]\) 인 시스템은 시불변시스템이다.
f. linearity
선형성은 신호들의 중첩에 있어서 중요한 시스템 특성이다. 선형성은 가산성과 동질성(비례성)으로 구성되어 있다. 가산성은 \(x_1(t)+x_2(t)\)의 출력은 \(y_1(t)+y_2(t)\)가 되는 특성을 말하고, 동질성은 \(ax_1(t)\)의 출력이 \(ay_1(t)\)가 되는 특성을 말한다. 아래의 식으로 한번에 선형 시스템의 특성을 보일 수 있다.
$$ ax_1(t)+bx_2(t)\to ay_1(t)+by_2(t) $$
여기서 \(a\)와 \(b\)는 임의의 복소수이다.